交点の位置ベクトルを天びん法を使って解く

交点の位置ベクトルの問題

数Bのベクトルの単元で習う問題

こんなやつ

 

交点の位置ベクトル

△OABにおいて, 辺OAを3:2に内分する点をM,  辺OBを3:4に内分する点をN, 線分ANとBMの交点をPとする。

\(\overrightarrow{OP}\)を\(\overrightarrow{OA}\)=\(\vec{a}\), \(\overrightarrow{OB}\)=\(\vec{b}\)を用いて表わせ

かなりよく見る問題ですね

 

これを\(s\)とか\(t\)とか使わないで

連立方程式も使わないで

メネラウスの定理も使わないで

天びん法の力を使って解く

 

その方法をご紹介

 

天びん法をマスターする

まずは天びん法から話をしていきましょう

 

中学受験経験者は知っているかもしれませんね

食塩水の問題をやったときに

習ったことがあると思いますので

 

とりあえず図を1つ

支点を境に左右の長さの比が3:2になっているシーソーがあると思ってください

ちょうど釣り合わせるためには

左と右それぞれ何キロの重さを載せればいいのか?

 

答えいっちゃいますね

長さの比と重さの比を逆にするとつりあいます

逆比っていうんですが

長さが3:2なので重さの比を2:3にしてあげればOKです

こんな感じです

このとき

支点には2+3で5の重さがかかっています

これも覚えておいてください

あとで使います

 

それから

左側の重さの比と長さの比をかけたものは

右側の重さの比と長さの比をかけたものと等しくなる

これも追加でお願いします(;・∀・)

左は2×3=6

右は3×2=6

どちらも同じ数字になっていますね

 

連比の考え方をマスターする

続いて連比の話

こちらも実は中学受験で習う内容です

連比の知識も必要なので説明しておきます

 

例えばA:Bが2:3

B:Cが4:3だとします

ではA:B:Cはいくつでしょう?という問題

 

こちらも図で解説

上と下でBの比が違うので揃えてあげる必要があります

つまり同じ数字にすればいいんですね

3と4を同じ数字にする・・・

最小公倍数を出してあげてください

 

3と4の最小公倍数は12

ということでBは12になりました

 

これで終わり・・・ではありません( ;∀;)

3を12にするのに4倍していますので

Aの2も4倍します=8

 

4を12にするのに3倍していますので

Cの3も3倍します=9

こんな感じですね

最終的な答えは8:12:9となります

これが連比の考え方です

 

交点の位置ベクトル問題を解く

さてこれで準備は整いました

では解いていきましょう

もう1度あの図を

先ほどの天びん法を使って

残りの辺の比を出していきましょう

AP:PNの比さえ出てしまえばあとは簡単ですからね

 

辺OAと辺OBから出していきます

 

できました

でもこのままだと点Oの数字が「2」と「4」で異なります

ここで連比の登場

最小公倍数で揃えてあげましょう

上の段の数字をすべて2倍すればOK

はい

これで揃いました

最初の図に転記していきます

はい、どうでしょう

ここまでくればAP:PNの比もわかりますね

天びん法を使って

逆比にすればいいので

7:6になるとわかります

ここまできたらゴールはすぐそこ

内分点の位置ベクトルの公式を使って計算していきましょう

公式は・・・

$$\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$$

 

使う三角形はここ

緑の三角形です

$$\overrightarrow{OP}=\frac{6\overrightarrow{OA}+7\overrightarrow{ON}}{7+6}$$

$$=\frac{6}{13}\overrightarrow{OA}+\frac{7}{13}×\frac{3}{7}\overrightarrow{OB}$$

$$=\frac{6}{13}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{13}\overrightarrow{OB}$$

$$=\frac{6}{13}\overrightarrow{a}+\frac{3}{13}\overrightarrow{b}$$

 

解けました!

ふーーー

ここまで書くの大変だった・・・