外接円の半径の求め方(高校入試対策)

外接円の半径・・・

高校で出し方は習うけど

中学でやったかな・・・

 

でも高校入試問題で見たことはあるので・・・(;・∀・)

解き方を説明していきますね

 

では早速問題です

△ABCの3つの頂点は円Oの周上にあり、AB=√5cm、BC=3cm、CA=2√2cmである。この三角形の半径を求めよ。

さていきますか

高校の知識を使わずに解く方法

 

解いてみたい方は

いったんスクロールを停止してくださいね

 

 

今回は「相似」と「三平方の定理」を使って解きます

あ、あと「円周角の定理」も

 

ではいきます

 

まずは補助線を引いて相似な三角形を作りましょう

  1. AからBCに向かって垂直な線を引き交点をHとします
  2. Aから中心を通る直線(直径)を引き円周との交点をDとします
  3. DとCを結びます

こんな感じになりましたか?

∠AHBは90度

∠ACEも円周角の定理から90度

 

○印がついている

∠Bと∠Dはこちらも同じ弧(AC)に対する円周角は等しいので

同じ大きさとわかりますね

 

この時点で△ABHと△ADCは2組の角がそれぞれ等しいので

相似であることが確定

相似とわかれば

あとは比を使って半径を出したいところですが・・・

このままでは出せませんね〜

わからない長さが多すぎる・・・

 

底辺は使わないとして

AHは知りたいですね

 

では次の作業に移りましょう

AHを出していきますよ

 

今度は三平方の定理を利用します

一旦相似な三角形は横に置いておいて・・・

 

△ABCに注目

左の三角形と右の三角形に分けて考えてみましょう

三平方の定理を利用すると

こんな式ができます

実際の長さを代入してみましょう

まずはBHの長さが出ました

ここでさらに三平方を使って

AHを出していきましょう

出ました

AHの長さは2です

 

ゴールまであと少し

横に置いておいた相似な図形を再登場させましょう

さっきより

わかる長さが増えましたね〜

 

あとは比で出すだけ

半径をRとおくと

ADは直径なので2Rとおけます

答えがでました

R、つまり半径は√10 / 2です

 

ふー

少し長かったですね。。。

 

お疲れ様でした!