交点の位置ベクトルを天びん法を使って解く
[mathjax]
交点の位置ベクトルの問題
数Bのベクトルの単元で習う問題
こんなやつ
△OABにおいて, 辺OAを3:2に内分する点をM, 辺OBを3:4に内分する点をN, 線分ANとBMの交点をPとする。
\(\overrightarrow{OP}\)を\(\overrightarrow{OA}\)=\(\vec{a}\), \(\overrightarrow{OB}\)=\(\vec{b}\)を用いて表わせ
かなりよく見る問題ですね
これを\(s\)とか\(t\)とか使わないで
連立方程式も使わないで
メネラウスの定理も使わないで
天びん法の力を使って解く
その方法をご紹介
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天びん法をマスターする
まずは天びん法から話をしていきましょう
中学受験経験者は知っているかもしれませんね
食塩水の問題をやったときに
習ったことがあると思いますので
とりあえず図を１つ
支点を境に左右の長さの比が３：２になっているシーソーがあると思ってください
ちょうど釣り合わせるためには
左と右それぞれ何キロの重さを載せればいいのか？
答えいっちゃいますね
長さの比と重さの比を逆にするとつりあいます
逆比っていうんですが
長さが３：２なので重さの比を２：３にしてあげればOKです
こんな感じです
このとき
支点には２＋３で５の重さがかかっています
これも覚えておいてください
あとで使います
それから
左側の重さの比と長さの比をかけたものは
右側の重さの比と長さの比をかけたものと等しくなる
これも追加でお願いします(；・∀・)
左は２×３＝６
右は３×２＝６
どちらも同じ数字になっていますね
連比の考え方をマスターする
続いて連比の話
こちらも実は中学受験で習う内容です
連比の知識も必要なので説明しておきます
例えばA：Bが２：３
B：Cが４：３だとします
ではA：B：Cはいくつでしょう？という問題
こちらも図で解説
上と下でBの比が違うので揃えてあげる必要があります
つまり同じ数字にすればいいんですね
３と４を同じ数字にする･･･
最小公倍数を出してあげてください
３と４の最小公倍数は１２
ということでBは１２になりました
これで終わり･･･ではありません( ；∀；)
３を１２にするのに４倍していますので
Aの２も４倍します＝８
４を１２にするのに３倍していますので
Cの３も３倍します＝９
こんな感じですね
最終的な答えは８：１２：９となります
これが連比の考え方です
交点の位置ベクトル問題を解く
さてこれで準備は整いました
では解いていきましょう
もう１度あの図を
先ほどの天びん法を使って
残りの辺の比を出していきましょう
AP：PNの比さえ出てしまえばあとは簡単ですからね
辺OAと辺OBから出していきます
できました
でもこのままだと点Oの数字が「２」と「４」で異なります
ここで連比の登場
最小公倍数で揃えてあげましょう
上の段の数字をすべて２倍すればOK
はい
これで揃いました
最初の図に転記していきます
はい、どうでしょう
ここまでくればAP：PNの比もわかりますね
天びん法を使って
逆比にすればいいので
７：６になるとわかります
ここまできたらゴールはすぐそこ
内分点の位置ベクトルの公式を使って計算していきましょう
公式は･･･
$$\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$$
使う三角形はここ
緑の三角形です
$$\overrightarrow{OP}=\frac{6\overrightarrow{OA}+7\overrightarrow{ON}}{7+6}$$
$$=\frac{6}{13}\overrightarrow{OA}+\frac{7}{13}×\frac{3}{7}\overrightarrow{OB}$$
$$=\frac{6}{13}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{13}\overrightarrow{OB}$$
$$=\frac{6}{13}\overrightarrow{a}+\frac{3}{13}\overrightarrow{b}$$
解けました！
ふーーー
ここまで書くの大変だった･･･
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